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什么样的数值结果值得相信：以 Lorenz 系统为例

Tue, 13 Oct 2026 00:00:00 +0000

一份计算物理课程汇报，题目是《从对流方程到可信的数值解》。幻灯片在线放映： soundadam.github.io/lorenz63，方向键翻页，按 N 打开讲稿。

一个悖论

用 scipy.solve_ivp 的 DOP853 积分 Lorenz 方程（σ=10, ρ=28, β=8/3），同一个初值，一次 rtol=1e-6，一次 rtol=1e-12。前十个时间单位两条轨道贴得很好，然后各自脱钩，差到吸引子的尺度。

哪一条是对的？ 直觉说容差紧的那条。这在 t<10 时正确，在 t>40 时没有意义。

精度只换来对数的时间

把容差从 1e-4 扫到 1e-12，记下与参考解（rtol=1e-13）首次分离超过 1 的时刻：

rtol	分离时刻
1e-4	5.69
1e-6	10.62
1e-8	16.11
1e-10	20.71
1e-12	26.88

分离时刻对 ln(1/rtol) 是一条直线，斜率是最大 Lyapunov 指数的倒数（λ₁ ≈ 0.904）。折成每一位：多一位精度，只多 ln 10 / λ₁ ≈ 2.55 个时间单位。 双精度的地板在 10⁻¹⁶，所以单条轨道的预报极限大约是 41，再怎么收紧容差也过不去。

但统计量不动

同样三次计算（rtol 取 1e-6、1e-9、1e-13），单条轨道在 t=10.5 和 18.3 就已经报废；可它们的 Lorenz 映射（z 的相邻两个局部极大）重合到线宽以内，厚度是 z 值域的 0.0086%； z 的不变密度之间最大总变差 1%，主要来自有限采样。Lyapunov 谱同样对容差不敏感，三个指数之和与相空间散度 −(σ+1+β) 的偏差在 10⁻⁹ 量级。

团队方案

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给合作的课题组和团队用的模型接入，跑在我自己维护的平台上。

主流模型，一个接口

主流模型都从同一个 OpenAI 兼容的 /v1 调用，现有的 SDK 和工具改一下地址和 key 就能用。

订阅制额度

每位成员有自己的 key，额度按周发放、每周恢复。用量随时可以在 my.soundadam.com 上看到。

团队管理

成员凭邀请链接加入，用 GitHub 登录一次即可，开通和撤销都即时生效。 key 的创建、接入说明和用量查询由成员在控制台里自己完成。

语音接口

和模型共用同一把 key、同一个 /v1：

模型	做什么	接口
`qwen3-asr`	语音转写，单个文件不超过 50 MB（16 kHz 单声道 wav 约 26 分钟）	`/v1/audio/transcriptions`
`qwen3-asr-aligned`	转写并给出逐词时间戳	`/v1/audio/transcriptions`
`qwen3-tts`	语音合成，用模型内置的音色，可以加风格提示	`/v1/audio/speech`
`sensevoice-small`	跑在 CPU 上的小型转写模型	`/v1/audio/transcriptions`
`kokoro`	跑在 CPU 上的小型合成模型	`/v1/audio/speech`

开通

写信到 hello@soundadam.com，说明团队规模和用途，我会回一个邀请链接。