https://soundadam.com/zh/blog/Recent content in 博客 on soundadam.comHugozh-CNTue, 13 Oct 2026 00:00:00 +0000https://soundadam.com/zh/blog/lorenz63/Tue, 13 Oct 2026 00:00:00 +0000https://soundadam.com/zh/blog/lorenz63/<p>一份计算物理课程汇报，题目是《从对流方程到可信的数值解》。幻灯片在线放映： <a href="https://soundadam.github.io/lorenz63/">soundadam.github.io/lorenz63</a>，方向键翻页，按 N 打开讲稿。</p> <h2 id="一个悖论">一个悖论</h2> <p>用 <code>scipy.solve_ivp</code> 的 DOP853 积分 Lorenz 方程（σ=10, ρ=28, β=8/3），同一个初值， 一次 <code>rtol=1e-6</code>，一次 <code>rtol=1e-12</code>。前十个时间单位两条轨道贴得很好，然后各自脱钩， 差到吸引子的尺度。</p> <p><strong>哪一条是对的？</strong> 直觉说容差紧的那条。这在 t&lt;10 时正确，在 t&gt;40 时没有意义。</p> <h2 id="精度只换来对数的时间">精度只换来对数的时间</h2> <p>把容差从 1e-4 扫到 1e-12，记下与参考解（rtol=1e-13）首次分离超过 1 的时刻：</p> <table> <thead> <tr> <th>rtol</th> <th>分离时刻</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td>1e-4</td> <td>5.69</td> </tr> <tr> <td>1e-6</td> <td>10.62</td> </tr> <tr> <td>1e-8</td> <td>16.11</td> </tr> <tr> <td>1e-10</td> <td>20.71</td> </tr> <tr> <td>1e-12</td> <td>26.88</td> </tr> </tbody> </table> <p>分离时刻对 ln(1/rtol) 是一条直线，斜率是最大 Lyapunov 指数的倒数（λ₁ ≈ 0.904）。 折成每一位：<strong>多一位精度，只多 ln 10 / λ₁ ≈ 2.55 个时间单位。</strong> 双精度的地板在 10⁻¹⁶，所以单条轨道的预报极限大约是 41，再怎么收紧容差也过不去。</p> <h2 id="但统计量不动">但统计量不动</h2> <p>同样三次计算（rtol 取 1e-6、1e-9、1e-13），单条轨道在 t=10.5 和 18.3 就已经报废； 可它们的 Lorenz 映射（z 的相邻两个局部极大）重合到线宽以内，厚度是 z 值域的 0.0086%； z 的不变密度之间最大总变差 1%，主要来自有限采样。Lyapunov 谱同样对容差不敏感， 三个指数之和与相空间散度 −(σ+1+β) 的偏差在 10⁻⁹ 量级。</p>